다인원 승률계산

2명일때 한명의 이길 확률을 가지고 3~9명일대 이길 확률을 구하는 공식은

 

ChatGPT의 말:

좋습니다. 핵심은 아래와 같습니다:

✅ 핵심 아이디어

• 2명일 때 A의 승률이 ppp라고 할 때,
  이를 N명 게임에서 A의 승률로 일반화.

✅ 가장 단순한 일반화 공식 (점수모델 기반)

1. 점수 변환 (odds ratio):

s=p1−ps = \frac{p}{1 - p}s=1−pp​

이는 승률 ppp를 점수로 변환하는 공식입니다. (로지스틱 변환)

1. 모든 플레이어가 동등한 상대라 가정 (동일한 점수):

• A의 점수: sss
• 나머지 N−1N - 1N−1명은 점수 111 (기준 점수).

1. N명 게임 승률:

PA,N=ss+(N−1)P_{A,N} = \frac{s}{s + (N - 1)}PA,N​=s+(N−1)s​

✅ 즉, 최종 공식:

PA,N=p1−pp1−p+(N−1)P_{A,N} = \frac{\dfrac{p}{1 - p}}{\dfrac{p}{1 - p} + (N - 1)}PA,N​=1−pp​+(N−1)1−pp​​

→ 정리:

PA,N=pp+(1−p)(N−1)P_{A,N} = \frac{p}{p + (1 - p)(N - 1)}PA,N​=p+(1−p)(N−1)p​

---

✅ 사용 예시:

2명일 때 승률 p=0.6p = 0.6p=0.6,
3명일 때:

PA,3=0.60.6+0.4×(3−1)=0.60.6+0.8=0.61.4≈0.4286P_{A,3} = \frac{0.6}{0.6 + 0.4 \times (3 - 1)} = \frac{0.6}{0.6 + 0.8} = \frac{0.6}{1.4} \approx 0.4286PA,3​=0.6+0.4×(3−1)0.6​=0.6+0.80.6​=1.40.6​≈0.4286

5명일 때:

PA,5=0.60.6+0.4×4=0.60.6+1.6=0.62.2≈0.2727P_{A,5} = \frac{0.6}{0.6 + 0.4 \times 4} = \frac{0.6}{0.6 + 1.6} = \frac{0.6}{2.2} \approx 0.2727PA,5​=0.6+0.4×40.6​=0.6+1.60.6​=2.20.6​≈0.2727

9명일 때:

PA,9=0.60.6+0.4×8=0.60.6+3.2=0.63.8≈0.1579P_{A,9} = \frac{0.6}{0.6 + 0.4 \times 8} = \frac{0.6}{0.6 + 3.2} = \frac{0.6}{3.8} \approx 0.1579PA,9​=0.6+0.4×80.6​=0.6+3.20.6​=3.80.6​≈0.1579

---

✅ 정리

• 공식:

PA,N=pp+(1−p)(N−1)P_{A,N} = \frac{p}{p + (1 - p)(N - 1)}PA,N​=p+(1−p)(N−1)p​

• 매우 간단하고 직관적.
• 전제:
  • 나머지 사람들은 서로 비슷한 실력.
  • 비김 없음, 반드시 1명 승자.

---